Přeji hezké sobotní odpoledne, zrovna zkouším vyplňovat cvičení na členy: … One month later the little boy fell off the bike and broke a leg. The injury was serious. The villagers went to the Zen master and said: " Isn't it a terrible thing the boy has broken a leg?"…

Místo tučně zvýrazněných neurčitých členů jsem měla “the”, ale podle výsledků tam má být “a”. V tom prvním případě bych to ještě pochopila, protože o té noze hovoříme poprvé (i když jsem to brala, že je to HIS leg, a tím pádem by tam měl být určitý člen), ale ve druhém případě už tomu nerozumím vůbec – je to ta konkrétní noha, hovořím o ní už podruhé, proč tam tedy má být neurčitý člen “a”??

The se v těchto případech nepoužívá. Nejčastěji se používá přivlastňovací zájmeno- The boy fell off the bike and broke his leg. To je podle mě nejlepší varianta.

Noha je sice konkrétní, ale v tomto případě se jedná spíše o obecný výraz “zlomit si nohu”. V češtině také neřeknete: Je to strašné, že si ten kluk zlomil tu nohu. Řeknete pouze: zlomil si nohu- a tak to funguje v angličtině, je to prostě obecný výraz.

The by bylo např. ve větě: He had a wooden leg and the leg was really scary.- Zde to není žádný používaný obecný výraz, je to prostě konkrétní noha, což ale u spojení break a leg neplatí. Mimochodem Break a leg znamená také “Zlom vaz”

Mě spíš zaujalo, že byl člen použit až za přídavným jménem. Psát totéž já, použiju: “a broken leg”, v čem je problém?

To není přídavné jméno, ale předpřítomný čas.
The boy has broken his leg.
The boy has broken a leg.
= Zlomil si (teď, nedávno apod.) nohu.

Prostě jako “He has broken the tree.” – Zlomil ten strom.

Díky, jenom dodatek, ve větě: “His leg is broken” by slovo broken zastávalo funkci přídavného jména?

Ano, určitě.