“Many people listen to the radio” is fine, even in conversational style.
There's an article on HelpForEnglish about the use of “many” (and other
quantifiers) here
which says, inter alia:
MUCH i MANY se používají především v otázkách, záporných
větách, a některých víceméně ustálených vazbách. Použití MANY
v kladné oznamovací větě je velice formální, použití MUCH v kladné
oznamovací větě se dokonce může považovat za chybu. (MUCH,
MANY, A LOT)
The article is very good, but I'm not sure I would agree that the use of
“many” in an affirmative declarative statement is “very
formal”, though it's certainly more formal than “lots of”, “a lot of”
and “plenty of”. I ran an Ngram search (it searches text in books) with
some common verbs like “are”, “do”, “think”, “say”, and
“believe”, and the result is here.