V kapitole “Degree adverbs and focus adverbs” (lekce 77, 2005) je věta:

I much enjoyed having you stay with us.

V Swanovi jsem našel, že hlavně v AmE lze po HAVE použít OBJECT + BARE INFINITIV

Oxford k tomu říká:
to tell or arrange for somebody to do something for you
have somebody do something
He had the bouncers throw them out of the club.
(informal) I'll have you know (= I'm telling you) I'm a black belt in judo.

Ale ani jedno mi nepřijde vhodné do první věty.

Určitě se nejedná o chybu.
Zde se jedná o něco něco jiného. Vlastně nahrazuje existencionální vazby there is/are/was/were…
I have some friends stay over here every year = There are some friends who stay over here every year.

Možná používáš spíše průběhovou formu.

I have some friends staying over here right now. There are some friends who are staying over right now.

Ty jo, tak o tom jsem nikdy neslyšel.
Dokázal bys to najít v nějakém slovníku (online) a dát odkaz? Nebo je to spíš jedno z těch neformálních vyjádření, která často ve slovnících spíš nejsou?
S tím se setkávám často – něco je v textu, já chápu, co to znamená, ale ve slovníku to není. 

Netuším jak slovníky, ale třeba oblíbený Swan:
238 entry 3
Já na to právě narážím docela často většinou v mluvené podobě. Myslím, ale že je to poměrně běžná věc, kterou stojí za to zařadit do repertoáru .

osobně bych řekl, že slova jako HAVE a GET mají tolik drobných odchylek ve významu, že na ně prostě na každé nejde udělat samostatné heslo. Nevím.

Rozhodně si nemyslím, že by to bylo nahrazení THERE ARE apod.

CO se týče této konkrétní vazby: Úplně normální je říct např. WE HAD SOME FRIENDS STAYING with us. Stejně tak a ve stejném významu se používá WE HAD SOME FRIENDS STAY with us.Nedělali to pro nás, neřekli jsme jim, aby to udělali, ale prostě jsme je měli u sebe na návštěvě. Je možné, že je to prostě hovorová varianta. Ono obecně HAVE SOME FRIENDS OVER apod. je spíše hovorové neformální.

Ve vazbě ENJOY HAVING… by působilo velmi divně, že by bylo ENJOY HAVING YOU STAYING… tak proto se tu sklouzne k té verzi se STAY. Věřím, že by to tak ani neznělo správně.

Takže závěrem: Pravděpodobně je to spíše neformální, hovorové. Ale to nevysvětluje, proč to ve slovnících není… protože slovníky běžně hovorové výrazy britské i americké obsahují. Vysvětluji si to tím co jsem řekl na začátku. Tato slovíčka mají tolik odstínů významů, že toto konkrétní použití asi není nijak zajímavé.

Swan to ale myslím vysvětluje pěkně.

Další důkaz toho, že SWAN je prostě nenahraditelný. 

To jistě je, já jen blbě hledal.
Místo na have jsem se díval na bare infinitive (kde tohle není). 

Děkuji za vysvětlení.

No já si myslím, že zrovna tento odstín významu have by ve slovnících měl být obsažený. Jak bylo řečené jedná se o význam hovorový neformální. Jistě nejde vždy nahradit stoprocentně tou vazbou there is, ale v mnoha ohledech se jí blíží minimálně tím, že to tak prostě bylo, ta věc nastala, já jsem “zažil”. Možná jsem měl napsat v mnoha ohledech se jí blíží:-). Nicméně si myslím, že my máme něco podobného v češtině.

I had her talking about all the things that…Ty ona mně tady vykládala o všech těch věcech…

She was talking about all the things that…kdybychom tam dali to me,tak by tam byl důraz na to mně, kdežto v té předešlé větě to, že to říkala mně je víceméně nedůležité.
Tak to prostě vidím já:-).

edit: Nebo klasika dnešních maminek popírající existenci otců.

Malý mně spal až do tří. I had him sleep until 3 o 'clock.