Jaký je rozdíl mezi těmito větami? Jsou obě gramaticky správně?
I saw him crossing the street.
I saw him cross the street.
Díky za odpověďi.

A ještě jeden dotaz:
I saw him crossing the street.
K čemu se prosím vztahuje „crossing“?
Kdo vlastně tu ulici přecházel, JÁ nebo ON?

Vidím to tak, že v tom velký rozdíl není. Je to jeden ze způsobů, jak angličtina rozlišuje něco, čemu my říkáme dokonavá a nedokonavá slovesa.

I saw him crossing the street.: Viděla jsem ho přecházet / jak přechází ( = v tom okamžiku přecházel)

I saw him cross the street.: Viděla jsem ho přejít / jak přešel (= viděla jsem akci „přecházení“ od začátku do konce.

I saw him crossing the street.: Myslím, že abych tu ulici přecházela já, musela bych tu větu otočit: „Crossing the street, I saw him.“ Pak by „crossing“ mělo funkci přechodníku (= „Přecházeje ulici, uviděla jsem ho.“)
Možná by taky stačilo pouze oddělit druhou část čárkou: „I saw him, crossing the street.“ , ale tím si nejsem jistá.

Ano, Brain má pravdu:

SEE sb DO sth – vidět, jak někdo něco udělal
SEE sb DOING sth – vidět, jak někdo něco dělá (ale nemusí to nutně dodělat)

I heard him start the car – slyšel jsem ho nastartovat
I heard him starting the car – slyšel jsem, jak startuje, ale třeba se mu to nepodařilo – holt vybitá baterie.

Použití toho přechodníku by bylo spíš v psané angličtině, v mluvení by to snad nikdo nepoužil. A v psaní je důležité, bay to nebylo dvojznačné – proto je lepší ta varianta, kde věta začíná tím CROSSING THE STREET, I SAW HIM… Obráceně ne, i když ta čárka by rozhodně pomohla.

No, ta věta byla v jedné knížce, a byla takhle…Ale díky moc!
Ještě jsem tam taky četla:
I stopped the taxi, got in, and got out at the library.
Nemělo by tam být got out of? Nebo se „of“ používá jen pokud následuje podstatné jméno?

ano, OF je před podstatným jménem.

I GOT OUT.
I GOT OUT OF THE TAXI.

Ta věta z knížky s tím I SAW HIM CROSSING… je samozřejmě ‚viděl jsem ho přecházet‘.

Díky moc.
V knížce bylo: I saw him cross the street.
Když jsem se ptala známého, odpověděl, že to znamená, že jej viděl PŘES ulici. to mě zmátlo úplně  

Ne, to by bylo I SAW HIM ACROSS THE TREET (předložka ACROSS). Ve větách I SAW HIM CROSS / I SAW HIM CROSSING jde o sloveso CROSS.