Chtěla bych se zeptat, jaký je přesně rozdíl mezi těmito dvěma slovíčky?Je nějaký rozdíl mezi větami:

If you go out in the rain, you will take an umbrella with you.

Whether you go out in the rain, you will take an umbrella with you.

Osobně bych na začátku věty použila rozhodně „IF“, ale říkám to jenom na základě toho, že mi to zní líp
Jinak: myslim, že whether se preferably používá v těchhle případech: po předložce (It depends on whether you like it.)dále v případech buď/nebo(Tell me, whether you like it or not) a potom před infinitivem: (They couldn´t decide whether to give it to him or not).

It doesn't matter whether it's spoken or written.
Rozhodně bych to nenazval buď a nebo ,ale spíš zdali nebo tak nějak

WHETHER se používá (podobně jako IF) ve vedlejších větách předmětnách. Nikdy podmínkových (tam může být jen IF).

Za předložkami (jak píše Dipsik) se používá taky spíš WHETHER.

WHETHER se taky používá tehdy, když za tím následuje infinitiv – I don't know wherher to go there or stay at home.-
(Tady by IF nešlo)

v té větě „it doesn´t matter, whether..“ se dá ale stjně dobře použít if, ne..

pokud je tam za tím infinitiv, tak ne… s vedlejší větou ano, s infinitivem ne.

Já jsem měla na mysli větu, kterou uvedl Surgeon: It doesn´t matter whether it´s written or spoken – tam je to podle mně zaměnitelné, if lze použít…

ano, tam stoprocentně ano.

Takže věty:
Do you know if it will rain tomorrow or not?
A
Do you know whether it will rain tomorrow or not?

Znamenají to samé, nebo se něčím významově liší??

Neliší – nevíš, zda… nevíš jestli… prašť jako uhoď. IF je běžnější v hovoru, WHETHER je formálnější.