Když chceme říct: Kolik zemí jsi už navštívil? (myšleno za celý život), tak se řekne: How many countries have you visited? ale když to chceme specifikovat na nějaký časový úsek, bude to stejně? Např. když někdo cestuje 3 měsíce po Evropě a zeptáme se, kolik už navštívil zemí za tu domu. How many countries have you visited during travelling around Europe? Šlo by to tak? Minulý čas by použít nešel, protože je stále ještě na cestách.

Ano.

How many countries have you visited while travelling around Europe?

Present perfect definitely needed if the travelling is still happening. 

Proč ne during? Za ním přece musí být podstatné jméno a to travelling je, ne?

Mně osobně varianta s while zní nejpřirozeněji. Je fakt, že travelling se chová jako podstatné jméno, ale stále se jedná o slovesný tvar a za předložkou during musí být podstatné jméno.
during the journey/trip/etc..

Všiml jsem si, že existuje on one's trevels…takže by asi šlo during your travels ..ale tady se zase používá spíš on your travels

Tak trochu jinak

I've been travelling around Europe for three months now.

Oh, how many countries have you visited so far? (neni potreba tam dat “during your travels/trip/jou­rney” jestli odpovidas konkretni otazku).

I've been to seven countries already/so far and plan to visit another five.

samozřejmě stylisticky se to dá vyjádřit různými způsoby, ale oops asi řeší, jestli je obrat during travelling OK nebo ne.

To moje during travels/trip/jou­rney jsem psal jen proto, abych ukázal, že za předložkou je podstatné jméno, nenavrhoval jsem to jako možnost použití ohledně věty: Kolik zemí jsi už navštívil.

Ten Váš návrh je samozřejmě v pohodě, ale to neřeší to, na co se ptal oops.

No, jasne, jenom jsem chtela ukazat, ze existuje moznost to vyjadrit nejak trochu priroznejsi. Nerada resim gramatiku – nejsem odbornik – necham to na Vas. Presentuji to, co by native speaker opravdu rekl – to je muj “prinos” pro tento forum. Native speaker by asi nepouzival “How many countries have you visited during your travels/while travelling around Europe?” jestli uz vime, ze cestuje po Evrope. Je to zbytecne dlouhe a zni jako neco z textbooku. 

Go ahead and tell us what the most natural way to express thoughts is from the point of a native speaker! I believe that almost everyone here will find it really helpful, including me.
I was just trying to show that using the presposition during is (might be) also wrong in terms of grammar.

Moc děkuju za všechny komentáře. Jinak s tím “so far” to zní opravdu nejlíp